Interes Simple (Clase)

La Capitalización Simple

 La capitalización simple es una formula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (periodos menores de 1 año), ya que para periodos más largos se utiliza la "Capitalización compuesta", que veremos en la siguiente lección.

• La formula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es la siguientes:

x

I = Co * i * t

x

" I " son los intereses que se generan

" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)

" i " es la tasa de interés que se aplica

" t " es el tiempo que dura la inversión

x

• Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 5 millones de pesetas a un tipo del 15% durante un plazo de 1 año.

x

I = 5.000.000 * 0,15 * 1

I = 750.000 ptas.

x

• Una vez que hemos calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final:

Cf = Co + I
Cf = Co + ( Co * i * t )	(sustituyendo "I" por su equivalente)
Cf = Co * ( 1 + ( i * T ))	(sacando factor común "Co")
x	x
" Cf " es el capital final

• Ejemplo: ¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ?  

Cf = Co + I
Cf = 5.000.000 + 750.000
Cf = 5.750.000

• Hay un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal (si el tipo es anual, el plazo debe de ir en año, si el tipo es mensual, el plazo irá en mesas, etc).

• ¿ Como se calcula el tipo de interés equivalente, según distinta unidad de tiempo ? Muy fácil, lo vamos a ver con un ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%. 

x
Base temporal	Calculo	Tipo resultante
x
Año	15 / 1	15 %
Semestre	15 / 2	7,5 %
Cuatrimestre	15 / 3	5 %
Trimestre	15 / 4	3,75 %
Mes	15 / 12	1,25 %
Día	15 / 365	0,041 %

• El resultado que se habría obtenido en el anterior ejemplo es independiente del tipo de base temporal que se hubiera tomado. Eso sí, si el interés va en base semestral, el plazo irá en semestre, etc.

x
Base temporal	Intereses
x
Año	5.000.000 * 0,15 * 1 = 750.000
Semestre	5.000.000 * 0,075 * 2 = 750.000
Cuatrimestre	5.000.000 * 0,05 * 3 = 750.000
Trimestre	5.000.000 * 0,0375 * 4 = 750.000
Mes	5.000.000 * 0,0125 * 12 = 750.000
Día	5.000.000 * 0,0041 * 365 = 750.000

• Veamos ahora un ejemplo:

·         Ejemplo: calcular los intereses que producen 1 millón de pesetas al 15% anual durante 3 meses:

x

Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)

x

Ya puedo aplicar la formula: I = Co * i + t

I = 5.000.000 * 0,0125 * 3 = 187.500

La Capitalización Simple

La capitalización simple es una formula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (periodos menores de 1 año), ya que para periodos más largos se utiliza la "Capitalización compuesta", que veremos en la siguiente lección.

• La formula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es la siguientes:

x

I = Co * i * t

x

" I " son los intereses que se generan

" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)

" i " es la tasa de interés que se aplica

" t " es el tiempo que dura la inversión

x

• Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 5 millones de pesetas a un tipo del 15% durante un plazo de 1 año.

x

I = 5.000.000 * 0,15 * 1

I = 750.000 ptas.

x

• Una vez que hemos calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final:

Cf = Co + I
Cf = Co + ( Co * i * t )	(sustituyendo "I" por su equivalente)
Cf = Co * ( 1 + ( i * T ))	(sacando factor común "Co")
x	x
" Cf " es el capital final

• Ejemplo: ¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ?  

Cf = Co + I
Cf = 5.000.000 + 750.000
Cf = 5.750.000

• Hay un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal (si el tipo es anual, el plazo debe de ir en año, si el tipo es mensual, el plazo irá en mesas, etc).

• ¿ Como se calcula el tipo de interés equivalente, según distinta unidad de tiempo ? Muy fácil, lo vamos a ver con un ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%. 

x
Base temporal	Calculo	Tipo resultante
x
Año	15 / 1	15 %
Semestre	15 / 2	7,5 %
Cuatrimestre	15 / 3	5 %
Trimestre	15 / 4	3,75 %
Mes	15 / 12	1,25 %
Día	15 / 365	0,041 %

• El resultado que se habría obtenido en el anterior ejemplo es independiente del tipo de base temporal que se hubiera tomado. Eso sí, si el interés va en base semestral, el plazo irá en semestre, etc.

x
Base temporal	Intereses
x
Año	5.000.000 * 0,15 * 1 = 750.000
Semestre	5.000.000 * 0,075 * 2 = 750.000
Cuatrimestre	5.000.000 * 0,05 * 3 = 750.000
Trimestre	5.000.000 * 0,0375 * 4 = 750.000
Mes	5.000.000 * 0,0125 * 12 = 750.000
Día	5.000.000 * 0,0041 * 365 = 750.000

• Veamos ahora un ejemplo:

·         Ejemplo: calcular los intereses que producen 1 millón de pesetas al 15% anual durante 3 meses:

x

Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)

x

Ya puedo aplicar la formula: I = Co * i + t

I = 5.000.000 * 0,0125 * 3 = 187.500

Capitalización compuesta vs capitalización simple

Ambas leyes de capitalización dan resultados diferentes. Vamos a analizar en que medida la aplicación de una  u otra ley en el cálculo de los intereses da resultados mayores o menores, y para ello vamos a distinguir tres momentos:

a) Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el año): en este supuesto, los intereses calculados con la ley de capitalización simple son mayores que los calculados con la ley de capitalización compuesta.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 4 millones de pesetas, durante 3 meses, a un tipo de interés del 12%:

a.1.) Capitalización simple

I = Co * i * t

Luego, I = 4.000.000 * 0,12 * 0,25 (hemos puesto tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 120.000 ptas.

a.2.) Capitalización compuesta

I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 4.000.000 * (((1 + 0,12) ^ 0,25) - 1)

Luego, I = 4.000.000 * (1,029 - 1)

Luego, I = 116.000 ptas.

Se comprueba, por tanto, como el interés calculado con la formula de la capitalización simple es superior al calculado con la formula de capitalización compuesta.

b) Periodos iguales a un año: en estos casos, ambas formulas dan resultados idénticos.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 2 millones de pesetas, durante 1 año, a un tipo de interés del 15%:

a.1.) Capitalización simple

I = Co * i * t

Luego, I = 2.000.000 * 0,15 * 1 (tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 300.000 ptas.

a.2.) Capitalización compuesta

I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 2.000.000 * (((1 + 0,15) ^ 1) - 1)

Luego, I = 2.000.000 * (1,15 - 1)

Luego, I = 300.000 ptas.

Se comprueba, por tanto, como los intereses calculados con ambas formulas son iguales.

c) Periodos superiores a un año: en estos casos, los intereses calculados con la formula de capitalización compuesta son superiores a los calculados con la formula de capitalización simple.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 5 millones de pesetas, durante 2 años, a un tipo de interés del 10%:

a.1.) Capitalización simple

I = Co * i * t

Luego, I = 5.000.000 * 0,10 * 2 (tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 1.000.000 ptas.

a.2.) Capitalización compuesta

I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 5.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 2) - 1)

Luego, I = 5.000.000 * (1,21 - 1)

Luego, I = 1.050.000 ptas.

Se puede comprobar, por tanto, como en este caso el interés calculado con la formula de capitalización compuesta es más elevado.

No obstante, como ya hemos indicado en lecciones anteriores, la formula de capitalización simple sólo se utiliza con operaciones de corto plazo (menos de 1 año), mientras que la de capitalización compuesta se puede utilizar en el corto y en el largo plazo. 

Descuento comercial

La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro.

Mientras que la ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital.

Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos: 

      Descuento comercial

   

     Descuento racional

   

     Descuento económico

Vamos a empezar con el estudio del descuento comercial.

A) DESCUENTO COMERCIAL

La ley financiera del descuento comercial, que permite calcular el importe del descuento, es la siguiente:

D = Co * d * t

" D " son los intereses que hay que pagar

" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)

" d " es la tasa de descuento que se aplica

" t " es el tiempo que dura la inversión

Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento que generan 2 millones de pesetas, descontados  a un tipo del 15%, durante un plazo de 1 año.

D = 2.000.000 * 0,15 * 1

D = 300.000 ptas.

Una vez que conocemos el importe del descuento, se puede calcular el capital final (que equivale al capital inicial menos el importe del descuento):

Cf = Co - D
Cf = Co - ( Co * d * t )	(sustituyendo "D" por su equivalente)
Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))	(sacando factor común "Co")
" Cf " es el capital final

Ejemplo: ¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ?  

Cf = Co - D
Cf = 2.000.000 - 300.000
Cf = 1.700.000 ptas.

Al igual que ya hemos visto con las leyes de capitalización, es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal. El tipo de interés equivalente se calcula tal como visto al estudiar la capitalización simple.

Recordemos el ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%. 

Base temporal	Calculo	Tipo resultante
Año	15 / 1	15 %
Semestre	15 / 2	7,5 %
Cuatrimestre	15 / 3	5 %
Trimestre	15 / 4	3,75 %
Mes	15 / 12	1,25 %
Día	15 / 365	0,041 %

Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento de un capital de 600.000 pesetas al 15% anual durante 3 meses:

Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual de descuento equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)

Ya puedo aplicar la formula: D = Co * d + t

D = 600.000 * 0,0125 * 3 = 22.500 ptas.

La ley de descuento comercial, al igual que la de capitalización simple, sólo se utiliza en el corto plazo (operaciones a menos de 1 año).

Descuento racional.

La ley financiera de descuento racional viene definida de la siguiente manera:

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

" D " son los intereses que hay que pagar

" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)

" d " es la tasa de descuento que se aplica

" t " es el tiempo que dura la inversión

Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final:

Cf = Co - D
Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t))	(sustituyendo "D")
Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t))	(sacando factor común "Co")
Cf = Co * ( ( 1 + d * t -  d * t ) / (1 + d * t))	(operando en el paréntesis)
luego, Cf = Co / (1 + d * t)	" Cf " es el capital final

Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 1.200.000 ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.

Aplicamos la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

luego,  D = ( 1.200.000 * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 * 0,666)

(0,666 es el equivalente anual de 8 meses)

luego,  D = 102.345 ptas.

Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras:

a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento):

luego, Cf = 1.200.000 - 102.345

luego, Cf = 1.097.655 ptas.

b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)

luego, Cf = 1.200.000 / (1 + 0,14 * 0,666)

luego, Cf = 1.200.000 / 1,09324

luego, Cf = 1.097.655 ptas.

La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial.

Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida.

Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 1.000.000 ptas., por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial.

a) Aplicando el descuento racional

Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)

luego, Cf = 1.000.000 / (1 + 0,1 * 0,5)

luego, Cf = 952.381 ptas.

Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización simple Cf = Co * (1 + (i * t))

(El capital descontado, 952.381 ptas, pasa a ser ahora "Co")

luego, Cf = 952.381 * (1 + (0,1 * 0,5))

luego, Cf = 1.000.000 ptas.

Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida

b) Aplicando el descuento comercial

Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))

luego, Cf = 1.000.000 * (1 - 0,1 * 0,5)

luego, Cf = 950.000 ptas.

Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t))

luego, Cf = 950.000 * (1 + (0,1 * 0,5))

luego, Cf = 997.500 ptas.

No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia

Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial