La Capitalización Simple
La capitalización simple es una formula
financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un momento
posterior. Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (periodos
menores de 1 año), ya que para periodos más largos se utiliza la
"Capitalización compuesta", que veremos en la siguiente lección.
- La
formula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es
la siguientes:
x
|
I = Co * i * t
|
x
|
" I " son los intereses que se generan
|
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
|
" i " es la tasa de interés que se aplica
|
" t " es el tiempo que dura la inversión
|
x
|
- Veamos
un ejemplo: calcular los intereses que generan 5 millones de pesetas a un
tipo del 15% durante un plazo de 1 año.
x
|
I = 5.000.000 * 0,15 * 1
|
I = 750.000 ptas.
|
x
|
- Una
vez que hemos calculado el importe de los intereses, podemos calcular el
importe del capital final:
Cf = Co + I
|
|
Cf = Co + ( Co * i * t )
|
(sustituyendo "I" por su equivalente)
|
Cf = Co * ( 1 + ( i * T ))
|
(sacando factor común "Co")
|
x
|
x
|
" Cf " es el capital final
|
|
- Ejemplo:
¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ?
Cf = Co + I
|
|
Cf = 5.000.000 + 750.000
|
|
Cf = 5.750.000
|
|
- Hay
un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de interés y el
plazo deben referirse a la misma medida temporal (si el tipo es anual, el
plazo debe de ir en año, si el tipo es mensual, el plazo irá en mesas,
etc).
- ¿
Como se calcula el tipo de interés equivalente, según distinta unidad de
tiempo ? Muy fácil, lo vamos a ver con un ejemplo: tipos equivalentes a
una tasa anual del 15%.
x
|
|
|
Base temporal
|
Calculo
|
Tipo resultante
|
x
|
|
|
Año
|
15 / 1
|
15 %
|
Semestre
|
15 / 2
|
7,5 %
|
Cuatrimestre
|
15 / 3
|
5 %
|
Trimestre
|
15 / 4
|
3,75 %
|
Mes
|
15 / 12
|
1,25 %
|
Día
|
15 / 365
|
0,041 %
|
- El
resultado que se habría obtenido en el anterior ejemplo es independiente
del tipo de base temporal que se hubiera tomado. Eso sí, si el interés va
en base semestral, el plazo irá en semestre, etc.
x
|
|
Base temporal
|
Intereses
|
x
|
|
Año
|
5.000.000 * 0,15 * 1 = 750.000
|
Semestre
|
5.000.000 * 0,075 * 2 = 750.000
|
Cuatrimestre
|
5.000.000 * 0,05 * 3 = 750.000
|
Trimestre
|
5.000.000 * 0,0375 * 4 = 750.000
|
Mes
|
5.000.000 * 0,0125 * 12 = 750.000
|
Día
|
5.000.000 * 0,0041 * 365 = 750.000
|
- Veamos
ahora un ejemplo:
·
Ejemplo: calcular los intereses que producen 1
millón de pesetas al 15% anual durante 3 meses:
x
|
Si utilizo como base temporal meses, tengo que
calcular el tipo mensual equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)
|
x
|
Ya puedo aplicar la formula: I = Co * i + t
|
|
I = 5.000.000 * 0,0125 * 3 = 187.500
|
La Capitalización Simple
La
capitalización simple es una formula financiera que permite calcular el
equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza
exclusivamente en el corto plazo (periodos menores de 1 año), ya que para
periodos más largos se utiliza la "Capitalización compuesta", que
veremos en la siguiente lección.
- La
formula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es
la siguientes:
x
|
I = Co * i * t
|
x
|
" I " son los intereses que se generan
|
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
|
" i " es la tasa de interés que se aplica
|
" t " es el tiempo que dura la inversión
|
x
|
- Veamos
un ejemplo: calcular los intereses que generan 5 millones de pesetas a un
tipo del 15% durante un plazo de 1 año.
x
|
I = 5.000.000 * 0,15 * 1
|
I = 750.000 ptas.
|
x
|
- Una
vez que hemos calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe
del capital final:
Cf = Co + I
|
|
Cf = Co + ( Co * i * t )
|
(sustituyendo "I" por su equivalente)
|
Cf = Co * ( 1 + ( i * T ))
|
(sacando factor común "Co")
|
x
|
x
|
" Cf " es el capital final
|
|
- Ejemplo:
¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ?
Cf = Co + I
|
|
Cf = 5.000.000 + 750.000
|
|
Cf = 5.750.000
|
|
- Hay
un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de interés y el
plazo deben referirse a la misma medida temporal (si el tipo es anual, el
plazo debe de ir en año, si el tipo es mensual, el plazo irá en mesas,
etc).
- ¿
Como se calcula el tipo de interés equivalente, según distinta unidad de
tiempo ? Muy fácil, lo vamos a ver con un ejemplo: tipos equivalentes a
una tasa anual del 15%.
x
|
|
|
Base temporal
|
Calculo
|
Tipo resultante
|
x
|
|
|
Año
|
15 / 1
|
15 %
|
Semestre
|
15 / 2
|
7,5 %
|
Cuatrimestre
|
15 / 3
|
5 %
|
Trimestre
|
15 / 4
|
3,75 %
|
Mes
|
15 / 12
|
1,25 %
|
Día
|
15 / 365
|
0,041 %
|
- El
resultado que se habría obtenido en el anterior ejemplo es independiente
del tipo de base temporal que se hubiera tomado. Eso sí, si el interés va
en base semestral, el plazo irá en semestre, etc.
x
|
|
Base temporal
|
Intereses
|
x
|
|
Año
|
5.000.000 * 0,15 * 1 = 750.000
|
Semestre
|
5.000.000 * 0,075 * 2 = 750.000
|
Cuatrimestre
|
5.000.000 * 0,05 * 3 = 750.000
|
Trimestre
|
5.000.000 * 0,0375 * 4 = 750.000
|
Mes
|
5.000.000 * 0,0125 * 12 = 750.000
|
Día
|
5.000.000 * 0,0041 * 365 = 750.000
|
- Veamos
ahora un ejemplo:
·
Ejemplo: calcular los intereses que producen 1
millón de pesetas al 15% anual durante 3 meses:
x
|
Si utilizo como base temporal meses, tengo que
calcular el tipo mensual equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)
|
x
|
Ya puedo aplicar la formula: I = Co * i + t
|
|
I = 5.000.000 * 0,0125 * 3 = 187.500
|
Capitalización compuesta vs
capitalización simple
Ambas leyes de capitalización dan
resultados diferentes. Vamos a analizar en que medida la aplicación de
una u otra ley en el cálculo de los intereses da resultados mayores o
menores, y para ello vamos a distinguir tres momentos:
a)
Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el año): en este
supuesto, los intereses calculados con la ley de capitalización simple son
mayores que los calculados con la ley de capitalización compuesta.
Veamos un ejemplo: calcular los
intereses devengados por un capital de 4 millones de pesetas, durante 3 meses,
a un tipo de interés del 12%:
a.1.)
Capitalización simple
|
I = Co
* i * t
|
Luego,
I = 4.000.000 * 0,12 * 0,25 (hemos puesto tipo y plazo en base anual)
|
Luego,
I = 120.000 ptas.
|
a.2.)
Capitalización compuesta
|
I = Co
* (((1 + i) ^ t) - 1)
|
Luego,
I = 4.000.000 * (((1 + 0,12) ^ 0,25) - 1)
|
Luego,
I = 4.000.000 * (1,029 - 1)
|
Luego,
I = 116.000 ptas.
|
Se comprueba, por tanto, como el
interés calculado con la formula de la capitalización simple es superior al
calculado con la formula de capitalización compuesta.
b)
Periodos iguales a un año: en estos casos, ambas formulas dan resultados
idénticos.
Veamos un ejemplo: calcular los
intereses devengados por un capital de 2 millones de pesetas, durante 1 año, a
un tipo de interés del 15%:
a.1.)
Capitalización simple
|
I = Co
* i * t
|
Luego,
I = 2.000.000 * 0,15 * 1 (tipo y plazo en base anual)
|
Luego,
I = 300.000 ptas.
|
a.2.)
Capitalización compuesta
|
I = Co
* (((1 + i) ^ t) - 1)
|
Luego,
I = 2.000.000 * (((1 + 0,15) ^ 1) - 1)
|
Luego,
I = 2.000.000 * (1,15 - 1)
|
Luego,
I = 300.000 ptas.
|
Se comprueba, por tanto, como los
intereses calculados con ambas formulas son iguales.
c)
Periodos superiores a un año: en estos casos, los intereses calculados con la
formula de capitalización compuesta son superiores a los calculados con la
formula de capitalización simple.
Veamos un ejemplo: calcular los
intereses devengados por un capital de 5 millones de pesetas, durante 2 años, a
un tipo de interés del 10%:
a.1.)
Capitalización simple
|
I = Co
* i * t
|
Luego,
I = 5.000.000 * 0,10 * 2 (tipo y plazo en base anual)
|
Luego,
I = 1.000.000 ptas.
|
a.2.)
Capitalización compuesta
|
I = Co
* (((1 + i) ^ t) - 1)
|
Luego,
I = 5.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 2) - 1)
|
Luego,
I = 5.000.000 * (1,21 - 1)
|
Luego,
I = 1.050.000 ptas.
|
Se puede
comprobar, por tanto, como en este caso el interés calculado con la formula de
capitalización compuesta es más elevado.
No obstante, como ya hemos
indicado en lecciones anteriores, la formula de capitalización simple sólo se
utiliza con operaciones de corto plazo (menos de 1 año), mientras que la de
capitalización compuesta se puede utilizar en el corto y en el largo
plazo.
Descuento comercial
La operación financiera de
descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se
calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro.
Mientras que la ley de
capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal,
compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En las leyes de
descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar
por adelantar la disposición del capital.
Dentro de las leyes de descuento,
se pueden distinguir tres modelos:
Descuento
comercial
Descuento racional
Descuento económico
Vamos a empezar con el estudio
del descuento comercial.
A) DESCUENTO COMERCIAL
La ley financiera del descuento
comercial, que permite calcular el importe del descuento, es la siguiente:
D = Co
* d * t
|
"
D " son los intereses que hay que pagar
|
"
Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
|
"
d " es la tasa de descuento que se aplica
|
"
t " es el tiempo que dura la inversión
|
Veamos un ejemplo: calcular los
intereses de descuento que generan 2 millones de pesetas, descontados a
un tipo del 15%, durante un plazo de 1 año.
D =
2.000.000 * 0,15 * 1
|
D =
300.000 ptas.
|
Una vez que conocemos el importe
del descuento, se puede calcular el capital final (que
equivale
al capital inicial menos el importe del descuento):
Cf = Co
- D
|
|
Cf = Co
- ( Co * d * t )
|
(sustituyendo
"D" por su equivalente)
|
Cf = Co
* ( 1 - ( d * t ))
|
(sacando
factor común "Co")
|
"
Cf " es el capital final
|
|
Ejemplo: ¿ Cual era el capital
final en el ejemplo anterior ?
Cf = Co
- D
|
|
Cf =
2.000.000 - 300.000
|
|
Cf =
1.700.000 ptas.
|
|
Al igual que ya hemos visto con
las leyes de capitalización, es importante tener en cuenta que el tipo de
interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal. El tipo de
interés equivalente se calcula tal como visto al estudiar la capitalización
simple.
Recordemos el ejemplo: tipos
equivalentes a una tasa anual del 15%.
Base temporal
|
Calculo
|
Tipo resultante
|
|
|
|
Año
|
15 / 1
|
15 %
|
Semestre
|
15 / 2
|
7,5 %
|
Cuatrimestre
|
15 / 3
|
5 %
|
Trimestre
|
15 / 4
|
3,75 %
|
Mes
|
15 / 12
|
1,25 %
|
Día
|
15 / 365
|
0,041 %
|
Veamos un ejemplo: calcular los
intereses de descuento de un capital de 600.000 pesetas al 15% anual durante 3
meses:
Si utilizo como base temporal meses, tengo que
calcular el tipo mensual de descuento equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 /
12)
|
Ya puedo aplicar la formula: D = Co * d + t
|
D = 600.000 * 0,0125 * 3 = 22.500 ptas.
|
La ley de descuento comercial, al
igual que la de capitalización simple, sólo se utiliza en el corto plazo
(operaciones a menos de 1 año).
Descuento racional.
La ley financiera de descuento
racional viene definida de la siguiente manera:
D = (
Co * d * t ) / (1 + d * t)
|
"
D " son los intereses que hay que pagar
|
"
Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
|
"
d " es la tasa de descuento que se aplica
|
"
t " es el tiempo que dura la inversión
|
Una vez que sabemos calcular los
intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final:
Cf = Co
- D
|
|
Cf = Co
- (( Co * d * t ) / (1 + d * t))
|
(sustituyendo
"D")
|
Cf = Co
* ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t))
|
(sacando
factor común "Co")
|
Cf = Co
* ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * t))
|
(operando
en el paréntesis)
|
luego,
Cf = Co / (1 + d * t)
|
"
Cf " es el capital final
|
Veamos un ejemplo: Calcular los
intereses de descuento por anticipar un capital de 1.200.000 ptas., durante 8
meses, a un tipo de interés del 14%.
Aplicamos
la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
|
luego,
D = ( 1.200.000 * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 * 0,666)
|
(0,666
es el equivalente anual de 8 meses)
|
luego,
D = 102.345 ptas.
|
Podemos
ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras:
|
a)
Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial
menos los intereses de descuento):
|
luego,
Cf = 1.200.000 - 102.345
|
luego,
Cf = 1.097.655 ptas.
|
b)
Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)
|
luego,
Cf = 1.200.000 / (1 + 0,14 * 0,666)
|
luego,
Cf = 1.200.000 / 1,09324
|
luego,
Cf = 1.097.655 ptas.
|
La ley de descuento racional es
el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al
igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta
relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial.
Con el término equivalente nos
referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y
capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al
capital de partida.
Veamos un ejemplo: Descontar un
capital de 1.000.000 ptas., por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe
resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el
mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el
descuento comercial.
a)
Aplicando el descuento racional
|
Primero
descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)
|
luego,
Cf = 1.000.000 / (1 + 0,1 * 0,5)
|
luego,
Cf = 952.381 ptas.
|
Una vez
obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de
capitalización simple Cf = Co * (1 + (i * t))
|
(El
capital descontado, 952.381 ptas, pasa a ser ahora "Co")
|
luego,
Cf = 952.381 * (1 + (0,1 * 0,5))
|
luego,
Cf = 1.000.000 ptas.
|
Vemos
que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de
partida
|
b)
Aplicando el descuento comercial
|
Primero
descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))
|
luego,
Cf = 1.000.000 * (1 - 0,1 * 0,5)
|
luego,
Cf = 950.000 ptas.
|
Ahora
capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t))
|
luego,
Cf = 950.000 * (1 + (0,1 * 0,5))
|
luego,
Cf = 997.500 ptas.
|
No se
cumple, por tanto, la relación de equivalencia
|
Como se ha podido ver en el
ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es
menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderEliminarCompañera, muy buena la información, me sirvió de mucho. Gracias. Solo un pequeñito problemita que vi por ahi y quería comentarle para que lo corrija, el primer texto de capitalización simple está repetido.
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